Respuesta de Fase: 1ra Derivada

El error más habitual de los profesores de matemática (álgebra, análisis, etc.) es no mostrarnos la aplicación de las herramientas que enseñan y, generalmente, uno aprende procedimientos sin asociarlos con una posible situación cotidiana.

En esta oportunidad quiero invitarlos a repasar un poco de matemática (Anímense! vale la pena). Como ya sabrán, en cálculo la derivada representa como varía una función a medida que su variable independiente cambia. Es decir, es una herramienta para analizar cuanto está cambiando una función en un punto dado, o sea su velocidad de variación, y es una forma de describir a la función con la mejor aproximación lineal en un valor de entrada dado.

La derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Las aplicaciones de la derivada van desde el velocímetro de un vehículo (ya que la velocidad es la derivada de la distancia) pasando por la densidad de población de los delfines con respecto a hasta la temperatura del agua y hasta ritmo de variación del precio de una pizza con respecto a su tamaño.

En nuestra disciplina, podemos ver que  la derivada de la respuesta de frecuencia es la respuesta de fase.

En la siguiente figura vemos la respuesta en frecuencia de un filtro paramétrico en 500hz con un Q=1 y +12dB.

Como pueden apreciar tracé 5 rectas tangentes para 5 puntos (frecuencias) diferentes de la curva. Entre la recta tangente a cada punto y la recta horizontal se genera un ángulo cuyo valor corresponde al desplazamiento de fase para dicho punto.

Solo tracé las rectas tangentes en la primer mitad del espectro ya que resulta evidente que al tratarse de curvas simétricas al otro lado de 500Hz obtendremos los mismos ángulos pero negativos.

Teniendo claro esto podemos entender como reacciona la respuesta de fase ante los cambios en la respuesta de frecuencia. La intuición no aplica en este asunto ya que uno podría pensar que el mayor desplazamiento en la respuesta de fase ocurre en el punto de mayor alteración de la respuesta de frecuencia. Todo lo contrario, 500Hz presenta el punto de máxima alteración de la respuesta de frecuencia y en dicho punto la recta tangente a la curva es una recta horizontal, por lo que la curva de la respuesta de fase en dicho punto pasa por cero grados.

Matías A. Fernández Parrau

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5 comments so far

  1. David Lorente on

    Hola Matías… no se cómo he llegado aquí, pero buenísimo tu post. Te felicito!. sólo un detalle para que pienses un poco 🙂 … si lo que cuentas en esta entrada es así, ¿qué pasa con los all-pass filters?… Saludos!

    • matiasfp on

      Hola David:
      Por casualidad sos el desarrollador del RVb?
      Mirá, me dejaste pensando… espero que tengas alguna respuesta a tu propia pregunta porque los APF parecen ser la excepción a la regla en este asunto.
      Saludos!

      • David on

        Y yo he descubierto aun más tarde que dejé la respuesta en el aire… lo siento Matias, lo acabo de ver con un par de años de delay. Sí, yo hice el RBV. Como comenta Germán, lo que cuentas en esta entrada es válido para sistemas de fase mínima, y los sistemas con APF no lo son.

  2. Germán Ramos on

    Hola David, Hola Matías

    Faltó especificar que esto es válido para sistemas de fase mínima. En verdad, la relación magnitud-fase para ellos está relacionada a través de la Transformada Hilbert del Cepstrum (logaritmo neperiano de la magnitud)

    Muy chulo el post, lo descubrí hoy, un poco tarde…

    Germán


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